香料ゐっすゐの夢

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三進数のナルシシスト数探し(後編)

 本記事では、三進数のナルシシスト数及びその洗い出し手順について説明します。

 

 本記事は前編の続きなので、まだ前編をご覧でない場合は当該リンクよりご覧ください。前編では3桁以下の場合における三進数のナルシシスト数及びその洗い出し方法を紹介しています。

4桁の場合

 さすがに4桁以上ともなると総当たり(しらみつぶし)での探索は厳しくなるので、ここからは洗い出し方法を変更します。

 

 4桁以上の場合においては、各桁の数字の桁数乗和(4桁であれば4乗和)を三進数に変換した値の各桁の数字*1が一致しているか否かで判断します。

 

 以下では各桁の数字の候補について大きい順に考えます。

2,2,2,2

 各数字の四乗和は24+24+24+24=64となり、三進数では2101(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,1

 各数字の四乗和は24+24+24+14=49となり、三進数では1211(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,0

 各数字の四乗和は24+24+24+04=48となり、三進数では1210(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,1,1

 各数字の四乗和は24+24+14+14=34となり、三進数では1021(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,1,0

 各数字の四乗和は24+24+14+04=33となり、三進数では1020(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,0,0

 各数字の四乗和は24+24+04+04=32となり、三進数では1012(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,1,1,1

 各数字の四乗和は24+14+14+14=19となり、三進数では201(3)となります。

ところが3桁しかない*2ので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

 

 他の場合は三進数における4桁のナルシシスト数にはなりえないので、4桁のナルシシスト数は存在しません。

5桁の場合

2,2,2,2,2

 各数字の五乗和は25+25+25+25+25=160となり、三進数では12221(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,1

 各数字の五乗和は25+25+25+25+15=129となり、三進数では11210(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,0

 各数字の五乗和は25+25+25+25+05=128となり、三進数では11202(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,1,1

 各数字の五乗和は25+25+25+15+15=98となり、三進数では10122(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,1,0

 各数字の五乗和は25+25+25+15+05=97となり、三進数では10121(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,0,0

 各数字の五乗和は25+25+25+05+05=96となり、三進数では10120(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,1,1,1

 各数字の五乗和は25+25+15+15+15=67となり、三進数では2111(3)となります。

ところが4桁しかないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

 

 他の場合は三進数における5桁のナルシシスト数にはなりえないので、5桁のナルシシスト数は存在しません。

6桁の場合

2,2,2,2,2,2

 各数字の六乗和は26+26+26+26+26+26=384となり、三進数では112020(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,2,1

 各数字の六乗和は26+26+26+26+26+16=321となり、三進数では102220(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,2,0

 各数字の六乗和は26+26+26+26+26+06=320となり、三進数では102212(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,1,1

 各数字の六乗和は26+26+26+26+16+16=258となり、三進数では100120(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,1,0

 各数字の六乗和は26+26+26+26+16+06=257となり、三進数では100112(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,0,0

 各数字の六乗和は26+26+26+26+06+06=256となり、三進数では100111(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,1,1,1

 各数字の六乗和は26+26+26+16+16+16=195となり、三進数では21020(3)となります。

ところが5桁しかないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

 

 他の場合は三進数における6桁のナルシシスト数にはなりえないので、6桁のナルシシスト数は存在しません。

7桁の場合

2,2,2,2,2,2,2

 各数字の七乗和は27+27+27+27+27+27+27=896となり、三進数では1020012(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,2,2,1

 各数字の七乗和は27+27+27+27+27+27+17=769となり、三進数では1001111(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,2,2,0

 各数字の七乗和は27+27+27+27+27+27+07=768となり、三進数では1001110(3)となります。

ところが各桁の数字が一致しないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

2,2,2,2,2,1,1

 各数字の七乗和は27+27+27+27+27+17+17=642となり、三進数では212210(3)となります。

ところが6桁しかないので、この場合のナルシシスト数は存在しません。

 

 他の場合は三進数における7桁のナルシシスト数にはなりえないので、7桁のナルシシスト数は存在しません。

8桁以上の場合+まとめ

 前編でも紹介した通り、三進数においては8桁以上のナルシシスト数は存在しません。

 

 結局のところ、三進数におけるナルシシスト数は、0(3)を除けば

  1(3),2(3),12(3),22(3),122(3)

の五つしかありません。

 

 十進数ではそれぞれ以下のようになります。

  1,2,5,8,17

 

 

 本記事は以上です。

*1:各数字の個数のみに意味があり、並ぶ順番は不問です。

*2:当然のことながら一致しません。