香料ゐっすゐの夢

数学・政治を中心とした雑記ブログ

√a+√b=√Nの整数解a,b

 本記事では、√a+√b=√Nの整数解a及びbを求める問題について説明します。

 

 なお、a,b,Nその他本記事で用いる文字は全てゼロ以上の整数を表すものとします。

問題設定

 本記事で考える問題は、式(1)の整数解a及びbを求める問題です。

  √a+√b=√N...(1)

解法

 先ず、式(1)の√bを右辺に移項して両辺を二乗すると

  a=N+b-2√(bN)...(2)

となります。更に式(2)の-√(bN)を左辺に、aを右辺に移項すると

  2√(bN)=N-a+b...(3)

となります。

 

 式(3)の右辺は整数なので、当然のことながら√(bN)は整数でなくてはなりません。式(2)への変形の段階で√aを右辺に移項すれば、√(aN)も同様に整数でなくてはなりません。

 

 ここで、Nの最大平方因子*1m2と無平方部*2kの積でNを表す、つまり

  N=m2k...(4)

と表すことを考えます。なお、N,m及びkは全てゼロ以上の整数です。

 

 すると、√(aN)及び√(bN)は以下のようになります。

  √(aN)=√(a×m2k)=m√(ak)...(5)

  √(bN)=√(b×m2k)=m√(bk)...(6)

 

 式(5)及び式(6)はゼロ以上の整数でなくてはならないので、ゼロ以上の整数x及びyを用いて

  a=x2k...(7)

  b=y2k...(8)

となります。無平方数に乗算して平方数となる整数で最小のものは元の無平方数そのものであることがその理由です*3

 

 式(4),式(7)及び式(8)を式(1)に代入すると

  √(x2k)+√(y2k)=√(m2k)

  x√k+y√k=m√k...(9)

となります。

 

 式(9)はk=0であれば両辺が0である恒等式となり、k≠0であればゼロ以上の整数x,y,mに対する不定方程式

  x+y=m...(10)

となります。

 

 方程式(10)の解のうちx及びyが共にゼロ以上の整数となるものの組は

  (x,y)=(0,m),(1,m-1),(2,m-2),...,(m-1,1),(m,0)

の合計m+1[組]となり、式(7)及び式(8)を用いてa及びbについての表記に直せば

  (a,b)=(0,m2k),(1,{m-1}2k),(2,{m-2}2k),...,({m-1}2k,1),(m2k,0)

となります。特に(x,y)=(0,m)及び(x,y)=(m,0)に相当する(a,b)=(0,m2k)及び(a,b)=(m2k,0)は自明な整数解です。

 方程式(1)におけるN=2009の場合である

 √a+√b=√2009...(11)

について考えます。

 

 2009を最大平方因子と無平方部の積で表すと、2009=72×41となります*4。無平方部が41なので、

  a=41x2...(12)

  b=41y2...(13)

として式(11)に代入すると

  √(41x2)+√(41y2)=√(72×41)

  x√41+y√41=7√41...(14)

となり、式(14)の両辺を√41で割ると

  x+y=7...(15)

となります。但し、x及びyは共にゼロ以上の整数です。

 

 式(15)の解でx及びyが共にゼロ以上の整数であるものは

  (x,y)=(0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0)

の合計八組であり、式(12)及び式(13)の関係を用いてa及びbの関係に直すと

  (a,b)=(0,2009),(41,1476),(164,1025),(369,656),(656,369),(1025,164),(1476,41),(2009,0)

となります。

 

 

 本記事は以上です。

*1:Nの約数である平方数のうち最大のもの

*2:元の自然数をその最大平方因子で割った商

*3:例えば、無平方数である6(=2×3)に乗算して平方数となる最小の整数は6です。

*4:式(4)におけるm=7,k=41の場合に相当します。