香料ゐっすゐの夢

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円弧で分割された正方形の各部分の面積

 本記事では、正方形の各頂点を中心とし、正方形の一辺の長さに等しい半径の円弧によって分割された正方形内部の各図形の面積を求める問題を考えます。

問題設定

 本記事で考える問題は、図1の正方形の各領域の面積を求める問題です。同図中の白線は全て正方形の各頂点を中心とする円弧です。

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図1 本記事で考える図形

図1の正方形は以下の三種類の図形から構成されています。これらの各図形の面積を求めるのが本記事における問題です。

  1. 正方形の各辺を膨らませたような図形()
  2. 矢じりのような図形()
  3. 山なりの細長い図形()

上記の図形の面積をそれぞれX,Y,Zとします。

 

 なお、図1の正方形の一辺の長さは1と定めます。当然のことながら同図の円弧の半径も1であり、正方形の面積は1となります。

解法

 先ずはXを求めることを考えます。

 

 正方形全体においてX+4Y+4Z=1が成立することから、X=1-4(Y+Z)となります。そこで正方形全体から"Y+Z"を四つ取り除くことでXの値を求めます。

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図2 図1に補助線(黄色)を追加したもの

 図2のように補助線(黄色)を引くと、紫の角度はπ/6(30°)、紫の角度はπ/3(60°)となります。このことから、「半径が1で中心角がπ/6の扇形」...(甲)の面積から「半径が1で中心角がπ/3の弓形」...(乙)の面積を引くことでY+Zが求まります。

 

 (甲)の面積は

  1/2×12×π/6=π/12...(1)

であり、(乙)の面積は

  1/2×12×{π/3-sin(π/3)}=π/6-√3/4...(2)

となるので(弓形の面積参照)、式(1)の値から式(2)の値を引くことで

  Y+Z=π/12-(π/6-√3/4)=-π/12+√3/4=(-π+3√3)/12...(3)

となります。

 

 あとはX=1-4(Y+Z)に式(3)の結果を代入することでXが求まります。

  X=1-4×(-π+3√3)/12=1-(-π+3√3)/3=(3+π-3√3)/3...(4)

 

 次はZの値を求めます。

 

 図1において元の正方形から四分円(半径は1)を除いた部分の面積は

  1-π/4=(4-π)/4...(5)

となり、その値はY+2Zに等しくなります。

 

 故に、式(5)から式(3)を引けば、Y+2Z-(Y+Z)=ZよりZの値そのものとなります。

  Z=(4-π)/4-(-π+3√3)/12=(12-2π-3√3)/12...(6)

 

 そして式(3)から式(6)を引けばYの値が求まります。

  Y=(-π+3√3)/12-(12-2π+3√3)/12=(-12+π+6√3)/12...(7)

 

 X,Y,Zの各図形の面積の厳密値及び近似値を以下の表に示します。

図形 厳密値 近似値
X

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0.315147
Y

f:id:k-kawanishi:20201210002925p:plain

0.127825
Z

f:id:k-kawanishi:20201210002944p:plain

0.043389

 

 

 

 本記事は以上です。