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二定点を頂点とする二等辺三角形・直角三角形の第三の頂点

 本記事では、二定点を頂点とする二等辺三角形・直角三角形の第三の頂点の存在範囲について考えます。

 

 二つの定点はそれぞれA,Bと定めます。当然のことながら、三角形ができなくなるような直線AB上の点は最初から除外します*1

【目次】

二定点を頂点とする二等辺三角形の第三の頂点

 先ずは二等辺三角形についてです。既知の二点を結ぶ線分が等辺となるか底辺となるかで分けて考えます。

既知の線分が等辺となる場合

 この場合、既知の線分と等しい長さの辺が(少なくとも)一つ存在します。又、その辺の一端は既知の定点である点A又は点Bとなります。

 

 よって、この場合における第三の頂点の存在範囲は、点A又は点Bを中心とし、線分ABの長さを半径とする円となります。

既知の線分が底辺となる場合

 この場合、第三の頂点は点A及び点Bからの距離が等しい点となります。そのため、この場合における第三の頂点の存在範囲は、線分ABの垂直二等分線となります。

二定点を頂点とする直角三角形の第三の頂点

 次は直角三角形についてです。既知の二点を結ぶ線分が直角を挟む辺(の一つ)となるか斜辺となるかで分けて考えます。

既知の線分が直角を挟む辺となる場合

 この場合、頂点A又は頂点Bの一方が直角を有します。そのため、この場合における第三の頂点の存在範囲は、点A又は点Bを通り、線分ABに垂直な直線となります。

既知の線分が斜辺となる場合

 この場合、第三の頂点が直角を有します。

 

 円周角の定理の逆より、特定の点から既知の二点に引いた線分のなす角が一定となるような点の軌跡は円弧となります。特別な場合として、なす角が直角となるような点の軌跡は、既知の二点を結ぶ線分を直径とする円となります。

 

 よって、この場合における第三の頂点の存在範囲は、線分ABを直径とする円となります。

まとめ

 既知の二点A,Bを頂点とする二等辺三角形及び直角三角形の第三の頂点の存在範囲を図1に示します。二等辺三角形については紫色、直角三角形については水色です。

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図1 二定点を頂点とする二等辺三角形・直角三角形の第三の頂点の存在範囲

 図1の中でも、二等辺三角形について存在範囲である円又は直線が二つ以上重なっている点C及び点Dは正三角形の頂点となります。

 

 更に、二等辺三角形と直角三角形のそれぞれについての存在範囲が重なっている点E,F,J,H,I,Jは直角二等辺三角形の頂点となります。

 

 前の四つは"大きな"直角二等辺三角形(辺ABが直角を挟む辺の一つ)の頂点であり、後の二つは"小さな"直角二等辺三角形(辺ABが斜辺)の頂点です。

 

 正三角形や直角二等辺三角形の頂点の座標については以下の記事で紹介しています。

 正三角形の第三の頂点

 直角二等辺三角形の第三の頂点

 

 

 

*1:言うまでもなく点Aや点Bそのものも含みます。