香料ゐっすゐの夢

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円錐台の体積・側面積

 本記事では、円錐台の体積・側面積について説明します。

円錐台とは

 先ずは円錐台について説明します。

 

 円錐台とは、底面に平行な平面で円錐を分割した立体のうち、より小さい円錐ではない方の立体のことです。

 

 なお、本記事では専ら直円錐*1から構成される円錐台(直円錐台)のみを考えます。直円錐台の二つの底面を結ぶ線分はそれら二つの底面のいずれにも直交します。

 

 円錐台の形をしているものの例は以下の通りです。

円錐台を"復元"した円錐

 円錐台の中心軸及び母線*3を延長してできる円錐について考えます。

 

 円錐台の底面のうち長い方の半径をa、短い方の半径をb、円錐台の高さをhとします(a>b>0,h>0)。

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図1 円錐台の"復元"

 図1では、中心軸(図1における線分DE)を含む平面での断面図の半分を表しています。

 

 中心軸DE及び母線ABの延長線の交点をCとすると、三角形の相似より、AD:BE=DC:EC=AC:BC=a:bとなります。

 

 EC=khとすると、DE=h、DE:EC=a:b及びDC=DE+ECより、

  (1+k)h:kh=a:b

  1+k:k=a:b

  ak=b(1+k)

  ak=b+bk

  (a-b)k=b

  ∴k=b/(a-b)

となり、k+1=a/(a-b)となります。これより、EC=bh/(a-b)、DC=ah/(a-b)となります。

 

 又、直角三角形ADC及び直角三角形BEC三平方の定理を適用することで、BC=b√{(a-b)2+h2}/(a-b)、AC=a√{(a-b)2+h2}/(a-b)となります。

円錐台の体積

 図1より、円錐台のもとになっている"大きな"円錐の高さはah/(a-b)、底面の半径はaとなります。又、取り除かれる"小さな"円錐の高さはbh/(a-b)、底面の半径はbとなります。

 

 従って、円錐台の体積Vは以下のようになります。

  V=π/3×a2×ah/(a-b)-π/3×b2×bh/(a-b)

   ={πh/3(a-b)}(a3-b3)

   ={πh/3(a-b)}(a-b)(a2+ab+b2)

   =πh(a2+ab+b2)/3...(1)

円錐台の側面積

 円錐の側面積はπ×(底面の半径)×(母線の長さ)で表されることを用います(詳細:直円錐の側面を展開した扇形の中心角)。

 

 "大きな"円錐の母線の長さはa√{(a-b)2+h2}/(a-b)、"小さな"円錐の母線の長さはb√{(a-b)2+h2}/(a-b)なので、円錐台の側面積Ssは以下のようになります。

  Ss=πa×a√{(a-b)2+h2}/(a-b)-πb×b√{(a-b)2+h2}/(a-b)

   =[π√{(a-b)2+h2}/(a-b)](a2-b2)

   =[π√{(a-b)2+h2}/(a-b)](a+b)(a-b)

   =π(a+b)√{(a-b)2+h2}...(2)

 

 二つの底面の面積を式(2)に加えれば表面積Sとなります。

  S=Ss+πa2+πb2=π[a2+b2+(a+b)√{(a-b)2+h2}]...(3)

 

 h=0の時、式(2)はSs=π(a2-b2)となります。この値は、外半径がa、内半径がbである同心円環形の面積となります。

 

 

 

*1:頂点から底面に引いた垂線の足が底面の中心に一致する円錐

*2:向月台(こうげつだい)

*3:円錐台の中心軸を含む平面及び円錐台の側面の共通部分に当たる線分